זהויות 1: זוויות שסכומן 180 מעלות – sin(180 − x) ו־cos(180 − x)טריגונומטריה 571 · שיעור 38
טריגונומטריה · שאלון 571
שיעור 37 – זהויות 1: זוויות שסכומן 180 מעלות – sin(180 − x) ו־cos(180 − x)
פרק 6 – זהויות טריגונומטריות
1נוסח השאלה
2סעיף א – סינוס של זוויות שסכומן 180
3סעיף ב – קוסינוס של זוויות שסכומן 180
4סעיף ג – זווית קהה במשפט הסינוסים
📄 נוסח השאלה
א. חשבו במחשבון את sin 30 ואת sin 150, ואחר כך את sin 70 ואת sin 110. מה מגלים?
ב. חשבו במחשבון את cos 40 ואת cos 140. מה מגלים?
ג. במשולש ABC נתון: BC = 7 , AC = 10 , ∢A = 35 . נתון גם שהזווית ∢B קהה. מצאו את ∢B.
סעיף א – סינוס של זוויות שסכומן 180
מחשבים (המחשבון במצב מעלות, האות D על המסך):
sin 30 = 0.5
במחשבון: sin 30 =
sin 150 = 0.5
במחשבון: sin 150 =
sin 70 ≈ 0.9397
סעיף א – סינוס של זוויות שסכומן 180 · המשך
sin 70 ≈ 0.9397
sin 110 ≈ 0.9397
בשני הזוגות סכום הזוויות הוא 180 מעלות (30 + 150 = 180 , 70 + 110 = 180) – והסינוס יוצא שווה. זו הזהות:
לכל זווית x:
📐 זוויות משלימות ל־180 מעלות
sin 150 = sin(180 − 30) = sin 30
✅ פתרון סופי: זוויות שסכומן 180 מעלות – אותו סינוס: sin(180 − x) = sin x
📐 זוויות משלימות ל־180 מעלות
sin(180 − x) = sin x
סעיף ב – קוסינוס של זוויות שסכומן 180
cos 40 ≈ 0.766
cos 140 ≈ −0.766
המספר זהה, אבל הסימן הפוך: לזווית קהה הקוסינוס שלילי.
לכל זווית x:
📐 זוויות משלימות ל־180 מעלות
למה זה חשוב? מהקוסינוס אפשר לדעת אם הזווית חדה (קוסינוס חיובי) או קהה (קוסינוס שלילי). מהסינוס – אי אפשר: לזווית חדה ולזווית הקהה שמשלימה אותה ל־180 יש אותו סינוס.
✅ פתרון סופי: cos(180 − x) = −cos x
📐 זוויות משלימות ל־180 מעלות
cos(180 − x) = −cos x
סעיף ג – זווית קהה במשפט הסינוסים
ידועות שתי צלעות וזווית שמול אחת מהן – משתמשים במשפט הסינוסים. הצלע AC מול ∢B, והצלע BC מול ∢A:
ACsin∢B = BCsin∢A
📐 משפט הסינוסים
נציב AC = 10 , BC = 7 , ∢A = 35:
10sin∢B = 7sin 35
7 · sin∢B = 10 · sin 35
sin∢B = 10 · sin 357 ≈ 0.8194
📐 משפט הסינוסים
asin∢A = bsin∢B = csin∢C = 2R
סעיף ג – זווית קהה במשפט הסינוסים · המשך
sin∢B = 10 · sin 357 ≈ 0.8194
במחשבון: SHIFT sin 0.8194 = נותן זווית חדה בלבד:
∢B ≈ 55.02
אבל יש זווית נוספת עם אותו סינוס – הזווית שמשלימה ל־180:
∢B ≈ 180 − 55.02 = 124.98
📐 זוויות משלימות ל־180 מעלות
נבדוק שהיא אפשרית במשולש: סכום שתי הזוויות קטן מ־180.
📐 זוויות משלימות ל־180 מעלות
sin(180 − x) = sin x
סעיף ג – זווית קהה במשפט הסינוסים · המשך
נבדוק שהיא אפשרית במשולש: סכום שתי הזוויות קטן מ־180.
35 + 124.98 = 159.98 < 180
📐 סכום זוויות במשולש
נתון שהזווית ∢B קהה, ולכן בוחרים בזווית הקהה.
✅ פתרון סופי: ∢B ≈ 124.98 מעלות
📐 סכום זוויות במשולש
180 מעלות
📌 סיכום התשובות
סעיף א
sin(180 − x) = sin x
סעיף ב
cos(180 − x) = −cos x
סעיף ג
∢B ≈ 124.98
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא